Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy\(ABC\)là tam giác đều cạnh \(2a,\,\,\,SA\bot \left( ABC \right),\,\,\,SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\) Thiết diện của hình chóp \(S.ABC\) được cắt bởi \(\left( P \right)\)có diện tích bằng ?
- A \(\frac{3{{a}^{2}}}{8}.\)
- B \(\frac{3{{a}^{2}}}{2}.\)
- C \(\frac{3{{a}^{2}}}{4}.\)
- D \(\frac{2{{a}^{2}}}{3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích
Lời giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của BC thì \(BC\bot AM\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Hiển nhiên \(AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\). Mà \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BC\bot SA\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\,\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( SAM \right).\)
\(\Rightarrow \) Thiết diện của hình chópS.ABC được cắt bởi (P) chính là \(\Delta SAM.\)
Và \(\Delta \,SAM\) vuông tại A nên \({{S}_{\Delta SAM}}=\frac{1}{2}SA.AM=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
