Phương pháp giải:

- Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng cách dựng các trục đường tròn của đáy $ABCD$ và mặt bên $SAB$

- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Pi – ta – go.

- Thể tích khối cầu được tính bởi công thức $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$  là trung điểm của $AB,O=AC\cap BD\Rightarrow SM\bot AB;OM\bot AB$

$\Rightarrow \widehat{SMO}={{90}^{0}}\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right)$.

Gọi $N$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

Qua $O,N$ kẻ $d\bot \left( ABCD \right),d'\bot \left( SAB \right)$, chúng cắt nhau ở $K$.

Vì $d,d'$ là trục các đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ và tam giác $SAB$ nên $K$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Ta có:

$SN=\frac{2}{3}SM=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$KN=OM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}.2=1$

$\Rightarrow SK=\sqrt{S{{N}^{2}}+N{{K}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2\Rightarrow R=2$.

Vậy $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32\pi }{3}$

Chọn D.