Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy dựa vào định nghĩa: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng”.

- Tính bán kính hình tròn nội tiếp đa giác đáy và độ dài đường sinh.

- Diện tích xung quanh hình nón được tính bởi công thức ${{S}_{xq}}=\pi rl$.

Lời giải chi tiết:

Hình chóp $S.ABCD$ đều nên $SH$ là đường cao ($H$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCD$)

Do đó $\left( \widehat{SB,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SBH}={{45}^{0}}\Rightarrow SH=HB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Đường tròn đáy của hình nón chính là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có bán kính $r=HE=\frac{a}{2}$.

Độ dài đường sinh $l=SE=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

Chọn D