Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Rút gọn biểu thức A

$\begin{array}{l}A = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\end{array}$

Ta có:  $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 3 + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}}$ Để biểu thức A có giá trị nguyên$\Leftrightarrow 4 \vdots \left( {\sqrt x  - 3} \right)$$\Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in$Ư(4) $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ { \pm 4{;^{}} \pm 2{;^{}} \pm 1} \right\}$

Vậy:  Để biểu thức A có giá trị nguyên thì:  $x \in \left\{ {1{;^{}}16{;^{}}25{;^{}}49} \right\}$,  nên ý kiến của bạn Quân đúng.