Câu hỏi:
Bạn Tý và Quân cùng tham gia giải Lê Quý Đôn trên báo Khăn Quàng Đỏ đang tranh luận về một bài toán. Bạn Tý nói: “Để biểu thức A có giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {16;49;36} \right\}\)”. Bạn Quân cho rằng: \(x \in \left\{ {16;49;25;1} \right\}\) . Hãy trình bày ý kiến của em, biết rằng: \(A = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\left( {x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9} \right)\)
- A Quân đúng
- B Tý Đúng
- C Cả hai bạn đều đúng
- D Cả hai bạn đều sai
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Rút gọn biểu thức A
\(\begin{array}{l}A = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)
Ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3 + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}\) Để biểu thức A có giá trị nguyên\( \Leftrightarrow 4 \vdots \left( {\sqrt x - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư(4) \( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ { \pm 4{;^{}} \pm 2{;^{}} \pm 1} \right\}\)
Vậy: Để biểu thức A có giá trị nguyên thì: \(x \in \left\{ {1{;^{}}16{;^{}}25{;^{}}49} \right\}\), nên ý kiến của bạn Quân đúng.
Câu hỏi trước
