Phương pháp giải:

- Tìm một mặt phẳng chứa $SK$ mà song song với $MN$, đó chính là mặt phẳng $\left( SAD \right)$.

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ $MN$ đến $mp\left( SAD \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Ta có: $MN\parallel \left( SAD \right)$.

Suy ra: $d\left( MN,SK \right)=d\left( MN,\left( SAD \right) \right)=d\left( O,\left( SAD \right) \right)=OH$

Có:

+)$OI=\frac{AB}{2}=a;$

+)$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

+)$SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\frac{5{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

$\Rightarrow OH=\frac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+S{{O}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}.$

Vậy $d\left( MN,SK \right)=\frac{a\sqrt{21}}{7}.$

 Đáp án D.