Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số nguyên tố có ước chung lớn nhất là 1.

Từ đó đi chứng minh $UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$

Áp dụng tính chất chia hết của 1 hiệu: Nếu $a \vdots c;b \vdots c \Rightarrow \left( {a - b} \right) \vdots c$

Lời giải chi tiết:

Gọi $d = UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}14n + 3 \vdots d\\21n + 4 \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}3\left( {14n + 3} \right) \vdots d\\2\left( {21n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}42n + 9 \vdots d\\42n + 8 \vdots d\end{array} \right\}\\\left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1\end{array}$

Vậy $UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$ hay hai số đó là hai số nguyên tố.