Phương pháp giải:

1) Phương pháp:

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Xét xem giá trị x đề bài cho có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu giá trị x đó thỏa mãn, thay giá trị x đó vào biểu thức để tính giá trị biểu thức P.

2) Phương pháp:

Câu a: Rút gọn biểu thức:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2:  Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Câu b: So sánh biểu thức A với 1.

+) Xét hiệu $A-1.$ Nếu $A-1>0\Rightarrow A>1;\,\,\text{A}-1=0\Leftrightarrow A=1;\,\,\,\,A-1<0\Leftrightarrow A<1.$

Câu c: Tìm giá trị của x thỏa mãn phương trình cho trước:

+) Thay biểu thức A đã rút gọn vào để giải phương trình tìm x.

+) Tìm được giá trị của x thì phải đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận giá trị của x.

Lời giải chi tiết:

Giải:

1) ĐKXĐ: 

$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..$

Ta thấy giá trị $x=\frac{1}{4}$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Với $x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}$. Thay vào P ta được: $P=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{3}{2}:\left( -\frac{1}{2} \right)=-3.$

Vậy với $x=\frac{1}{4}$ thì $P=-3.$

2) 

Giải:

a) ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align}  & x>0 \\ & x\ne 1 \\\end{align} \right..$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}$

b) Xét hiệu: $A-1=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-1=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Ta có: $\sqrt{x}>0\,\,\forall x\ne 0;\,\,x\ne 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>0\,\,\forall x\ne 0;\,\,x\ne 1.$

$\Rightarrow A-1>0\Leftrightarrow A>1.$

Vậy $A>1.$

c) ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align}  & x>0 \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right..$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{P}{A}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\sqrt x + 1 > 0\,\,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}$

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn $\frac{P}{A}\left( x-1 \right)=0$.