Phương pháp giải:

+ Nhân thêm $2$ vào hai vế của biểu thức ban đầu ta được biểu thức mới.

+ Lấy biểu thức mới trừ đi biểu thức ban đầu ta tính được tổng của biểu thức ban đầu.

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

$\begin{array}{l}A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{100}}\\2.A = 2.\left( {1 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{100}}} \right) = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{101}}\\2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^{101}} - 1.\end{array}$