Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $I{H^2} + {r^2} = {R^2}$ với IH là khoảng cách từ tâm của (S) đến $\left( \alpha  \right)$, r là bán kính đường tròn giao tuyến, R là bán kính mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết:

$(S)$: ${{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 2{\rm{z}} + 2 = 0$

=> Tâm $I\left( {1; - 3; - 1} \right),R = 3$

Giả sử (P): x+2y+c=0 ($c \ne 0$)

$IH = d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 6 + c} \right|}}{{\sqrt 5 }}$$= \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt 5$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {c - 5} \right| = 5 \Leftrightarrow c = 10\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 2y + 10 = 0\end{array}$