Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của SC lên (ABCD).

Lời giải chi tiết:

\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

Góc giữa SC và (ABCD) bằng \(\widehat {SCA}\)

\(AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2a\)

\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \)

Vậy góc giữa SC và (ABCD) là \(45^\circ \)

Phương pháp giải:

Xác định mặt phẳng (P) qua SC và song song với DE.

\(d\left( {SC,DE} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right)\)

Tìm mối quan hệ \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) và \(d\left( {D,\left( P \right)} \right)\).

Tìm hình chiếu của A lên (P).

Lời giải chi tiết:

Kẻ CF||DE ( F thuộc AD).

=> DE||(SCF)

=>d(DE,SC)=d(DE,(SCF))=d(D,(SCF)).

ECFD là hình bình hành nên

\(\begin{array}{l}DF = EC = \dfrac{{AD}}{2} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{DF}} = 3\\ \Rightarrow d\left( {D,\left( {SCF} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right)\end{array}\).

Kẻ \(AH \bot CF;AK \bot SH\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} \Rightarrow CF \bot AH\\CF \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow CF \bot \left( {SAH} \right)\\ \Rightarrow CF \bot AK \Rightarrow AK \bot \left( {SCF} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right) = AK\\\tan \widehat {HFA} = \tan \widehat {CFD} = \dfrac{{DC}}{{DF}} = 2\\ \Rightarrow AH = 2HF\\ \Rightarrow A{H^2} + \dfrac{{A{H^2}}}{4} = A{F^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}.a\sqrt 2 } \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{5}{4}A{H^2} = \dfrac{{9{a^2}}}{2} \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{18{a^2}}}{5}\\\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}}\\ = \dfrac{5}{{18{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{36{a^2}}}\\ \Rightarrow AK = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {19} }}\\ \Rightarrow d\left( {SC,DE} \right) = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {19} }}\end{array}\)