Phương pháp giải:

Đặt ${\rm{w}} = x + yi$.

Đưa về dạng $z.{z_1} = {z_2}$ rồi lấy mô đun 2 vế.

Biện luận ${\left| z \right|^2}$

Sử dụng bất đẳng thức $\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left|{{z_2}} \right|$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $w= x + yi$.

Từ giả thiết $w= \frac{{1 + iz}}{{2 + z}} \Rightarrow w\left( {2 + z} \right) = 1 + iz$

$\Rightarrow z\left( w- i \right) = 1 - 2w$

$\Rightarrow z\left[ {x + yi - i} \right] = 1 - 2\left( {x + yi} \right)$  (1)

Lấy modun hai vế biểu thức (1) ta được 

$\left| z \right|\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} + {{\left( { - 2y} \right)}^2}}$

$\Rightarrow {\left| z \right|^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right)$$= \left( {4{x^2} + 4{y^2} - 4x + 1} \right)$  (2)

Từ (2) suy ra:

Nếu ${\left| z \right|^2} \ne 4$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn.

Nếu ${\left| z \right|^2} = 4$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}}$ là đường thẳng thỏa mãn đề bài.

Suy ra $\left| z \right| = 2$

+ $P = \left| {z - 4i} \right| \le \left| z \right| + \left| {4i} \right| = 6$ . Dấu “=” xảy ra khi $z =  - 2i$ vì z phải là số thuần ảo giống -4i. Vậy GTLN của P bằng $6$.