Phương pháp giải:

Đặt \({\rm{w}} = x + yi\).

Đưa về dạng \(z.{z_1} = {z_2}\) rồi lấy mô đun 2 vế.

Biện luận \({\left| z \right|^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức \(\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left|{{z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(w= x + yi\).

Từ giả thiết \(w= \frac{{1 + iz}}{{2 + z}} \Rightarrow w\left( {2 + z} \right) = 1 + iz\)

\( \Rightarrow z\left( w- i \right) = 1 - 2w\)

\( \Rightarrow z\left[ {x + yi - i} \right] = 1 - 2\left( {x + yi} \right)\)  (1)

Lấy modun hai vế biểu thức (1) ta được 

\(\left| z \right|\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} + {{\left( { - 2y} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow {\left| z \right|^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right)\)\( = \left( {4{x^2} + 4{y^2} - 4x + 1} \right)\)  (2)

Từ (2) suy ra:

Nếu \({\left| z \right|^2} \ne 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn.

Nếu \({\left| z \right|^2} = 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}}\) là đường thẳng thỏa mãn đề bài.

Suy ra \(\left| z \right| = 2\)

+ \(P = \left| {z - 4i} \right| \le \left| z \right| + \left| {4i} \right| = 6\) . Dấu “=” xảy ra khi \(z =  - 2i\) vì z phải là số thuần ảo giống -4i. Vậy GTLN của P bằng \(6\).