Phương pháp giải:

- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 $\Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4$.

- Tìm điều kiện để $y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]$ và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ $D = \mathbb{R}$.

+ Ta có: $y' = 6{x^2} - 6\left( {3m - 1} \right)x + 6\left( {2{m^2} - m} \right)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow y' = {x^2} - \left( {3m - 1} \right)x + \left( {2{m^2} - m} \right) = 0$.

+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 $\Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4\left( {2{m^2} - m} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)$.

+ Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - m\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 6m + 1 - 8{m^2} + 4m > 0\\{\left( {3m - 1} \right)^2} - 4\left( {2{m^2} - m} \right) = 16\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 > 0\\{m^2} - 2m + 1 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array}$.

Vậy $m = 5$ hoặc $m =  - 3$.

Chọn C.