Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 1\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x + m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 1 \( \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 + 3\left( {m - 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 2\\4 + \dfrac{{4\left( {m - 1} \right)}}{3} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 2\\m >  - \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m >  - \dfrac{5}{4}\).

Chọn D.