Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' =  - {x^2} + 2mx - m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - \left( {m + 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\4{m^2} - 4\left( {m + 1} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\4{m^2} - 4m - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 1\end{array} \right.\).

Chọn A.