Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$  đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \mathbb{R}.$

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: Hàm số

$y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$ $\Rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Đáp án B: Hàm số $y = {x^4} - 2{x^2}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có:$y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Hàm số có các khoảng đồng biến và nghịch biến $\Rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Đáp án C: Hàm số $y = {x^3} + x$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có:$y' = 3{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Chọn C.