Phương pháp giải:

- Vì $\left( \alpha  \right) \bot \Delta$ nên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \overrightarrow u$ với $\overrightarrow u$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$, từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Áp dụng định lí Pytago: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$, với $R$ là bán kính mặt cầu $\left( S \right)$, $r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$, $d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)$ với $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$.

- Để $r$ đạt GTLN thì $d$ phải đạt GTNN. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ và tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)$.

Vì $\left( \alpha  \right) \bot \Delta$ nên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right)$. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có dạng $3x - 2y - z + d = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0$ có tâm $I\left( {4; - 1; - 1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3}  = \sqrt {22}$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn $\left( C \right)$, $d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$, do đó để $r$ đạt GTLN thì $d$ phải đạt GTNN (vì $R = \sqrt {22}$ không đổi).

Ta có: $d = \dfrac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0$, suy ra ${d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d =  - 15$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cần tìm là: $3x - 2y - z - 15 = 0$.

Chọn D.