Phương pháp giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $\left( P \right).$

Khi đó $\left\{ H \right\} = \left( P \right) \cap d$ với $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right).$

Đường thẳng $d$ có VTCP là VTPT của $\left( P \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( P \right):\,\,x + y - 2z - 1 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,1; - 2} \right).$

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M\left( {1; - 2;\,\,2} \right)$ và vuông góc với $\left( P \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \\ \Rightarrow d:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 - 2t\end{array} \right..\end{array}$

Khi đó hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( P \right)$ là giao điểm $H$ của $\left( P \right)$ và $d.$

Ta có: $H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;\, - 2 + t;\,\,2 - 2t} \right)$

Lại có $H \in \left( P \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + t - 2 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2t - 2 - 4 + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 6t = 6\\ \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow H\left( {2;\, - 1;\,\,0} \right).\end{array}$

Chọn A.