Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} \ge 0$ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}P = {x^2} + 2{y^2} + 2xy + 6y + 10\\\,\,\,\, = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + 1\end{array}$

Do $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\forall x,y \Rightarrow P \ge 1$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right.$

Vậy $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right..$

Chọn B.