Phương pháp giải:

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $y = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\frac{{mx + 1}}{{x + m}}}}$ đồng biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ khi:

$y' = \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\frac{{mx + 1}}{{x + m}}}}.\ln \frac{1}{5} > 0;\forall x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ mà $\ln \frac{1}{5} < 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\ - m \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m < 1$

Chọn C.