Phương pháp giải:

- Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

- Tính chiều cao của hình chóp.

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R.

Ta có $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{{BC}}{{\sin BAC}}$

Tam giác ABC có $AB = AC = 2a;BC = 3a$

$\Rightarrow \cos BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} =  - \frac{1}{8} \Rightarrow \sin BAC = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \frac{{{a^2}.3\sqrt 7 }}{4}$

Khi đó $R = \frac{{BC}}{{2\sin BAC}} = \frac{{3a}}{{2.\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} = \frac{{4\sqrt 7 }}{7}$

Chiều cao hình chóp là $h = \sqrt {S{A^2} - {R^2}}  = \frac{{\sqrt {35} }}{7}$

Khi đó thể tích hình chóp là $V = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {35} }}{7}.\frac{{3\sqrt 7 }}{4}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}$.

Chọn D.