Câu hỏi:
Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = - {x^4} + \left( {2m - 3} \right){x^2} + m\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) là \(\left( { - \infty ;\dfrac{p}{q}} \right]\), trong đó \(\dfrac{p}{q}\) tối giản và \(q > 0\). Hỏi tồng \(p + q\) là:
Phương pháp giải:
- Tính \(y'\).
- Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).
- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\).
- Xác định \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\) và kết luận khoảng giá trị của \(m\), từ đó suy ra \(p,\,\,q\) và tính tổng \(p + q\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Ta có \(y' = - 4{x^3} + 2\left( {2m - 3} \right)x\).
Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4{x^3} + 2\left( {2m - 3} \right)x \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x\left( { - 2{x^2} + 2m - 3} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2m - 3 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le 2{x^2} + 3\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2{x^2} + 3\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) ta có \(g'\left( x \right) = 4x > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 5\).
\( \Rightarrow 2m \le 5 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right]\).
\( \Rightarrow \dfrac{p}{q} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow p = 5,\,\,q = 2\).
Vậy \(p + q = 5 + 2 = 7\).
Chọn C.