Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Xét 2 TH: \(m = 0\) và \(m \ne 0\).

- Đối với trường hợp \(m \ne 0\): Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) .

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {1;3} \right)\).

TH1: \(m = 0\), hàm số trở thành \(y = f\left( x \right) = 14x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), khi đó hàm số không thể giảm trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Ta có: \(y' = m{x^2} + 14mx + 14\) .

Hàm số giảm trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} + 14mx + 14 \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 14x} \right) \le  - 14\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}}\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}}\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{14\left( {2x + 14} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 14x} \right)}^2}}}\), \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 14 = 0 \Leftrightarrow x =  - 7\).

BBT:

Vậy \(m \le  - \dfrac{{14}}{{15}}\).

Chọn B.