Câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD\). Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

  • A \(V = \dfrac{{8\sqrt 6 {a^3}}}{9}\)
  • B \(V = 8\sqrt 2 {a^3}\)
  • C \(V = 8\sqrt 6 {a^3}\)
  • D \(V = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

Phương pháp giải:

- Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{A^2} = AH.HD\) biểu diễn \(x\) theo \(a\).

- Tính chiều cao \(SH\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{H^2} = AH.HD\) .

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\), từ đó tính độ dài \(HC\).

- Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông tính \(CD\) và tính \({S_{ABCD}}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD\\ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3x.4x = 12{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = 4a,\,\,AH = 3a,\,\,HD = a\).

Lại có: \(S{H^2} = AH.HD = 3a.a = 3{a^2}\) \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHC\) có: \(HC = SH.cot{30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CDH\) có:

\(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.CD = 4a.2a\sqrt 2  = 8\sqrt 2 {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .8\sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

 Chọn D.


Quảng cáo

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay