Phương pháp giải:

- Đặt $AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $S{A^2} = AH.HD$ biểu diễn $x$ theo $a$.

- Tính chiều cao $SH$, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $S{H^2} = AH.HD$ .

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$, từ đó tính độ dài $HC$.

- Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông tính $CD$ và tính ${S_{ABCD}}$.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAD$ có:

$\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD\\ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3x.4x = 12{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}$

$\Rightarrow AD = 4a,\,\,AH = 3a,\,\,HD = a$.

Lại có: $S{H^2} = AH.HD = 3a.a = 3{a^2}$ $\Rightarrow SH = a\sqrt 3$.

Ta có $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $HC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {30^0}$.

Xét tam giác vuông $SHC$ có: $HC = SH.cot{30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $CDH$ có:

$CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2a\sqrt 2$.

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.CD = 4a.2a\sqrt 2  = 8\sqrt 2 {a^2}$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .8\sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

 Chọn D.