Phương pháp giải:

- Gọi $O = AC \cap BD$, $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

- Dựa vào tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, tính độ dài các đoạn thẳng $BH,\,\,HD$.

- Xác định góc giữa $SD$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu của $SD$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

- Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $AH$.

- Tính ${S_{\Delta ABC}}$, từ đó suy ra ${S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}}$.

- Sử dụng công thức tính thể tích $V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$, $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3$ và ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ $\Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

$H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow BH = \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $\Rightarrow HD = BD - BH = a\sqrt 3  - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $HD$ là hình chiếu của $SD$ lên $\left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;HD} \right) = \angle SDH = {30^0}$.

Xét tam giác vuông $SHD$ có: $SH = HD.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$.

Chọn C.