Phương pháp giải:

- Gọi \(O = AC \cap BD\), \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Dựa vào tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), tính độ dài các đoạn thẳng \(BH,\,\,HD\).

- Xác định góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SD\) và hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(AH\).

- Tính \({S_{\Delta ABC}}\), từ đó suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

\(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow HD = BD - BH = a\sqrt 3  - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HD\) là hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;HD} \right) = \angle SDH = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHD\) có: \(SH = HD.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

Chọn C.