Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức $\cos \varphi  = \dfrac{{S'}}{S}$, trong đó $S'$ là hình chiếu vuông góc của $S$.

- Tính diện tích tam giác $ABC$, sử dụng công thức ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC$.

- Tính độ dài các cạnh của tam giác $AIB'$, áp dụng định lý Pytago đảo chứng minh $\Delta AIB'$ vuông.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hình chiếu vuông góc của tam giác AIB’ lên (ABC) là tam giác ACB.

Khi đó: $\cos \varphi  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AIB'}}}}\,\,$với $\varphi  = \left( {\left( {ABC} \right);\left( {AIB'} \right)} \right)$.

Diện tích tam giác ABC: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A = \dfrac{1}{2}.1.1.\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

$BC = \sqrt {{1^2} + {1^2} - 2.1.1.\cos {{120}^0}}  = \sqrt 3$

Tam giác AIB’ có: $AB' = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2$, $AI = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$, $IB' = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$

$\Rightarrow A{B'^2} + A{I^2} = 2 + \dfrac{5}{4} = \dfrac{{13}}{4} = I{B'^2} \Rightarrow \Delta AIB'$ vuông tại A (Định lí Pytago đảo).

$\Rightarrow {S_{AIB'}} = \dfrac{1}{2}AB'.AI = \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}$.

Vậy $\cos \varphi  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AIB'}}}}\, = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{\sqrt {10} }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{10}}$.

Chọn D.