Phương pháp giải:

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích \(V = Bh\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'B'\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {60^0}\).

Xét \({\Delta _v}A'BB'\) có: \(BB' = A'B'.\tan {60^0} = a\sqrt 5 .\sqrt 3  = a\sqrt {15} \).

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt {15} .\dfrac{{5{a^2}}}{2} = \dfrac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}\).

Chọn C.