Phương pháp giải:

- Đổi $d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right)$ sang $d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right)$ với $O = AC \cap BD$.

- Gọi $M = A'C' \cap SO$, chứng minh $A'C' \bot \left( {BOM} \right)$.

- Trong $\left( {BOM} \right)$ kẻ $OH \bot BM\,\,\left( {H \in BM} \right)$, chứng minh $OH \bot \left( {A'BC'} \right)$.

- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $OH$.

Lời giải chi tiết:

+ Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $M = A'C' \cap SO$.

+ $A'C'$ là đường trung bình của tam giác $SAC \Rightarrow A'C'\parallel AC$.

+ Áp dụng định lí Ta-lét: $\dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M$ là trung điểm của $SO$.

+ $SO \cap \left( {A'BC'} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right)}} = \dfrac{{SM}}{{OM}} = 1$ $\Rightarrow d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right)$.

+ $\Delta SAB = \Delta SCB\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BA' = BC'$ $\Rightarrow \Delta BA'C'$ cân tại $B$ $\Rightarrow BM \bot A'C'$.

Trong $\left( {BOM} \right)$ kẻ $OH \bot BM\,\,\left( {H \in BM} \right)$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot MO\\A'C' \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BOM} \right) \Rightarrow A'C' \bot OH$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot A'C'\\OH \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {A'BC'} \right)$ $\Rightarrow d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right) = OH$.

+ $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

+ $\Delta SBO:\,\,SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $\Rightarrow OM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$.

+ $\Delta BOM:\,\,\,\,OH = \dfrac{{BO.OM}}{{\sqrt {B{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$.

Vậy $d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$.