Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Giải phương trình

\(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;2} \right]\).

- Tính các giá trị \(y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\), do đó hàm số xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\).

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - 3 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(y\left( 0 \right) = 3,\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{7}{3},\,\,y\left( 1 \right) = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m = \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 2\\\,\,\,\,\,M = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 3\end{array}\)

Vậy \(m + M = 2 + 3 = 5\).

Chọn D.