Phương pháp giải:

- Đưa các biểu thức trong môđun về dạng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2}$.

- Sử dụng công thức $\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|$.

- Đưa phương trình về dạng tích, chia các trường hợp.

- Đặt $w = a + bi$, suy ra số phức z, biến đổi và tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2z + 1 + 1} \right| = \left| {{z^2} - 2iz + {i^2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + 1} \right)}^2} - {i^2}} \right| = \left| {{{\left( {z - i} \right)}^2} - {1^2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\left| {z - i + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - i + 1} \right|\left( {\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z - i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - i + 1} \right| = 0\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i - 1\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $z = i - 1 \Rightarrow w = i - 1 + 2 - 4i = 1 - 3i$, khi đó $\left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10}$.

TH2: $\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|$ (*).

Đặt $w = z + 2 - 4i = a + bi$ $\Rightarrow z = \left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i$.

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i - i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 5} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 3} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 5} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2a + 1 + 10b + 25 =  - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a + 4b + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a + b + 2 = 0\end{array}$

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng $d:\,\,x + y + 2 = 0$.

Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức w, $M \in d$.

Khi đó ta có $\left| w \right| = OM \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = d\left( {O;d} \right)$ $= \dfrac{{\left| {0 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$.

Kết hợp 2 TH ta có ${\left| w \right|_{\min }} = \sqrt 2$.

Chọn A.