Phương pháp giải:

- Chứng minh $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, MC. Chứng minh $BC \bot \left( {SHN} \right)$.

- Trong (SHN) kẻ , chứng minh $HK = {d_{\left[ {H;\left( {SBC} \right)} \right]}}$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính HK.

Lời giải chi tiết:

+ $\Delta SAC$ cân tại S $\Rightarrow SH \bot AC$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\SH \subset \left( {SAC} \right);\,\,SH \bot AC\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, MC.

+  đều $\Rightarrow AM \bot BC$ , HN là đường trung bình của tam giác ACM $\Rightarrow HN\parallel AM$.

$\Rightarrow HN \bot BC$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right)$.

Trong (SHN) kẻ $HK \bot SN$ $\left( {K \in SN} \right)$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SN\\HK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SHN} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)$.

$\Rightarrow {d_{\left[ {H;\left( {SBC} \right)} \right]}} = HK$.

+ $\Delta ABC$ đều cạnh a $\Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow HN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

+ : $BN = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{{3a}}{4}$ $\Rightarrow SN = BN.\tan {60^0} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}$.

+ $\Delta SHN$: $SH = \sqrt {S{N^2} - H{N^2}}  = \sqrt {\dfrac{{27{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

    $HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

Vậy ${d_{\left[ {H;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$.