Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp $\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$.

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm lượng giác: $\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u$, $\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u$.

- Sử dụng công thức nhân đôi: $2\sin x\cos x = \sin 2x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{y'}}{y} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}:\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Chọn A.