Phương pháp giải:

- Chứng minh $SM \bot \left( {ABCD} \right)$.

- Sử dụng định lí: $AB\parallel \left( P \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)$, đổi đỉnh tính khoảng cách từ M đến (SCD).

- Gọi N là trung điểm của CD, trong (SMN) dựng $MH \bot SN$, chứng minh $MH \bot \left( {SCD} \right)$.

- Đặt $AB = x$, tính MC, MD theo x.

- Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD), từ đó tính SM theo x.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SMD tìm x, từ đó tính được SM và MN theo a.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác SAB cân tại S nên $SM \bot AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)$.

$\Rightarrow MC$ là hình chiếu của SC lên (ABCD) $\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}$.

Gọi N là trung điểm của CD $\Rightarrow MN \bot CD$.

Trong (SMN) kẻ $MH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot MN\\CD \bot SM\,\,\left( {SM \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot MH$.

$\left\{ \begin{array}{l}MH \bot CD\\MH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {SCD} \right)$ $\Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = MH$.

Ta có: $AM\parallel CD \Rightarrow AM\parallel \left( {SCD} \right)$, do đó $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = MH$.

Gọi cạnh của hình vuông ABCD bằng x.

Áp dụng định lí Pytago ta có: $MC = MD = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{x\sqrt 5 }}{2}$.

Xét tam giác vuông SMC có: $SM = MC.\tan {60^0} = \dfrac{{x\sqrt {15} }}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SMD có:

$\begin{array}{l}S{M^2} + M{D^2} = S{D^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15{x^2}}}{4} + \dfrac{{5{x^2}}}{4} = 20{a^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} = 20{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\end{array}$

$\Rightarrow MN = x = 2a$ và $SM = \dfrac{{2a.\sqrt {15} }}{2} = a\sqrt {15}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMN có:

$\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{15{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{60{a^2}}}$ $\Rightarrow MH = \dfrac{{2a\sqrt {285} }}{{19}}$.

Vậy $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {285} }}{{19}} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{{\sqrt {19} }}$.

Chọn C.