Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow OM\parallel AB\), mà \(AB \bot BC\) \( \Rightarrow OM \bot BC\) và \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right)\).

Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {O \in SM} \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\\OH \bot SM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Tam giác SBC đều cạnh a nên \(SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOM có: \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Chọn C.