Phương pháp giải:

Phương trình elip $\left( E \right)$ có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$

Elip đi qua hai điểm cho trước, ta thay toa độ vào phương trình elip giải ra ta được ${a^2},\,\,{b^2}.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Vì elip $\left( E \right)$ đi qua điểm $M\left( {0;\,\,3} \right)$ và $N\left( {3;\,\, - \frac{{12}}{5}} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}} = 1\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\{a^2} = 25\end{array} \right.$

Vậy phương trình elip $\left( E \right)$ là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.$

Chọn  B.