Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) với \(2c\) là tiêu cự của (E).

Lời giải chi tiết:

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Hiển nhiên \(b < a\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) với \(2c\( là tiêu cự của (E).

Lời giải chi tiết:

Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\).

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có  \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Từ phương trình (E) tìm độ dài trục lớn \(2a\) và độ dài trục bé \(2b\). Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng  \(2\left( {2a + 2b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {40}} + {{{y^2}} \over {10}} = 1\). Suy ra \(\left\{ \matrix{  a = 2\sqrt {10}  \hfill \cr   b = \sqrt {10}  \hfill \cr}  \right.\)

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: \(2\left( {2a + 2b} \right) = 2\left( {4\sqrt {10}  + 2\sqrt {10} } \right) = 12\sqrt {10} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục lớn là 12, suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Tiêu cự là 10, suy ra \(2c = 10\) hay \(c = 5\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 25 = 11\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục lớn là 20, suy ra \(2a = 20\) hay \(a = 10\)

Tâm sai \(e = {3 \over 5}\), suy ra \({c \over a} = {3 \over 5}\) suy ra \(c = 6\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\)

Lời giải chi tiết:

Tiêu cự elip bằng 6, suy ra \(2c = 6\) hay \(c = 3\)

Tâm sai \(e = {3 \over 5}\), suy ra \({c \over a} = {3 \over 5}\) suy ra \(a = 5\).

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình elip cần tìm có dạng  \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Elip có tiêu cự là 4 suy ra \(2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\). Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2} = 4\)

Vì elip qua \(M\left( {1;{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) nên ta có \({1 \over {{a^2}}} + {4 \over {5{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  {a^2} - {b^2} = 4 \hfill \cr   {1 \over {{a^2}}} + {4 \over {5{b^2}}} = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2} = 5 \hfill \cr   {b^2} = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c. Tìm các tiêu điểm \({F_1},{F_2}\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21} \)

Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right),\,\,{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y  _0}} \right) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\)

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {{x_0} + \sqrt {21} ;\,{y_0}} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {{x_0} - \sqrt {21} ;\,{y_0}} \right)\)

Vì \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) nên \(\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt {21} } \right)\left( {{x_0} - \sqrt {21} } \right) + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  4{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 100 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0}^2 = {{425} \over {21}} \hfill \cr   {y_0}^2 = {{16} \over {21}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} =  \pm {{5\sqrt {357} } \over {21}} \hfill \cr   {y_0} =  \pm {{4\sqrt {21} } \over {21}} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy, các điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {{{5\sqrt {357} } \over {21}};{{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_2}\left( {{{5\sqrt {357} } \over {21}}; - {{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_3}\left( { - {{5\sqrt {357} } \over {21}};{{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_4}\left( { - {{5\sqrt {357} } \over {21}}; - {{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right)\)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Đưa phương trình Elip về dạng chính tắc.

Xác định các hệ số a, b, c. Tìm các tiêu điểm \({F_1},{F_2}\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

\((E):\,\,4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 3,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {3^2} - {2^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \)

Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right),\,\,{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{ y _0}} \right) \in (E) \Rightarrow 4{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 36\)

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {{x_0} + \sqrt 5 ;\,{y_0}} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {{x_0} - \sqrt 5 ;\,{y_0}} \right)\)

Vì \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) nên \(\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt 5 } \right)\left( {{x_0} - \sqrt 5 } \right) + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  4{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 36 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0}^2 = {9 \over 5} \hfill \cr   {y_0}^2 = {{16} \over 5} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} =  \pm {3 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr   {y_0} =  \pm {4 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy, các điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_2}\left( { - {3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_3}\left( {{3 \over {\sqrt 5 }}; - {4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_4}\left( { - {3 \over {\sqrt 5 }}; - {4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\)

Chọn: C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức : \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0};\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\,\,,\,\,\,(M({x_0};{y_0}) \in (E))\). 

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 9\).

\((E):\,\,\,{x^2} + 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Rightarrow a = 3,b = 1\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {3^2} - {1^2} = 8 \Rightarrow c = 2\sqrt 2 \)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}\,\)

\(\eqalign{  & 3M{F_1} = M{F_2} \Leftrightarrow 3\left( {3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}\,} \right) = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}\, \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt 2 {x_0}\, = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0} \Leftrightarrow {{8\sqrt 2 } \over 3}{x_0} =  - 6 \Leftrightarrow {x_0} =  - {{9\sqrt 2 } \over 8}  \cr   & {x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 9 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{23} \over {32}} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm {{\sqrt {46} } \over 8}  \cr   &  \Rightarrow {M_1}\left( { - {{9\sqrt 2 } \over 8};{{\sqrt {46} } \over 8}} \right)\,\,\,,\,\,\,{M_2}\left( { - {{9\sqrt 2 } \over 8}; - {{\sqrt {46} } \over 8}} \right)\,\,\, \cr} \)

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0};\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\,\,,\,\,\,\left( {M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {100}} + {{{y_0}^2} \over {36}} = 1\).

\((E):\,\,\,{{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1 \Rightarrow a = 10,\,\,b = 6\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow c = 8\)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 10 + {8 \over {10}}{x_0} = 10 + {4 \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 10 - {8 \over {10}}{x_0} = 10 - {4 \over 5}{x_0}\)

\(\eqalign{  & M{F_2} = 4M{F_1} \Leftrightarrow 10 - {4 \over 5}{x_0} = 4\left( {10 + {4 \over 5}{x_0}} \right)\, \Leftrightarrow 10 - {4 \over 5}{x_0} = 40 + {{16} \over 5}{x_0} \Leftrightarrow 4{x_0} =  - 30 \Leftrightarrow {x_0} =  - {{15} \over 2}  \cr   & {{{x_0}^2} \over {100}} + {{{y_0}^2} \over {36}} = 1 \Leftrightarrow {{{{\left( { - {{15} \over 2}} \right)}^2}} \over {100}} + {{{y_0}^2} \over {36}} = 1 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{63} \over 4} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm {{3\sqrt 7 } \over 2}  \cr   &  \Rightarrow {M_1}\left( { - {{15} \over 2};{{3\sqrt 7 } \over 2}} \right)\,\,\,,\,\,\,{M_2}\left( { - {{15} \over 2}; - {{3\sqrt 7 } \over 2}} \right)\,\,\, \cr} \)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Xác định tiêu điểm trái \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và đỉnh trên \(B\left( {0;b} \right)\)

\(M \in D \Rightarrow M\left( { - 5;m} \right)\)

Từ giả thiết ta có \(M{F_1} = MB\)

Lời giải chi tiết:

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 3\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {c^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow c = 4\)

(E) có tiêu điểm trái \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\), đỉnh trên \(B(0;3)\)

Điểm \(M \in D:x + 5 = 0 \Rightarrow M( - 5;\,m)\)

Theo đề bài, ta có:

\(M{F_1} = MB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 4 + 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - m} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {0 + 5} \right)}^2} + {{\left( {3 - m} \right)}^2}}  \Leftrightarrow 1 + {m^2} = 25 + 9 - 6m + {m^2} \Leftrightarrow m = {{11} \over 2}\)

Vậy, \(M\left( { - 5;{{11} \over 2}} \right)\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0};\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0};\,\,{F_1}{F_2} = 2c\,\,,\,\,\,\left( {M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 9\).

\((E):\,\,\,{x^2} + 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow a = 3,\,\,b = 1\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {3^2} - {1^2} = 8 \Rightarrow c = 2\sqrt 2 \)

\({F_1}{F_2} = 2c = 2.2\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}\)

Theo đề bài:

\(\eqalign{  & {1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {{3\sqrt 2 } \over {{F_1}{F_2}}} \Leftrightarrow {1 \over {3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}}} + {1 \over {3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}}} = {{3\sqrt 2 } \over {4\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {6 \over {\left( {3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}} \right)\left( {3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}} \right)}} = {3 \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}} \right)\left( {3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow 9 - {8 \over 9}{x_0}^2 = 8 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {9 \over 8} \Leftrightarrow {x_0} =  \pm \sqrt {{9 \over 8}}   \cr   & {x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 9 \Leftrightarrow {9 \over 8} + 9{y_0}^2 = 9 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {7 \over 8} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm \sqrt {{7 \over 8}}  \cr} \)

Vậy, có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {\sqrt {{9 \over 8}} ;\sqrt {{7 \over 8}} } \right);{M_2}\left( {\sqrt {{9 \over 8}} ; - \sqrt {{7 \over 8}} } \right);{M_3}\left( { - \sqrt {{9 \over 8}} ;\sqrt {{7 \over 8}} } \right);{M_4}\left( { - \sqrt {{9 \over 8}} ; - \sqrt {{7 \over 8}} } \right)\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có các đỉnh \({A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right);{B_1}\left( {0; - b} \right);\,\,{B_2}\left( {0;b} \right)\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right);\,\,{F_2}\left( {c;0} \right)\) với \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

\(a = 3,\,\,c = 1\).

Ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {3^2} - {b^2} = {1^2} \Rightarrow {b^2} = 8\)

Phương trình chính tắc của elip:  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Tiêu cự của elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

\( \Rightarrow \) Tiêu cự của Elip là \(2\sqrt {9 - 4}  = 2\sqrt 5 .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục lớn bằng \(10 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5.\)

Độ dài trục bé bằng \(8 \Rightarrow 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4.\)

Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 10, độ dài trục bé bằng 8 là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\) là một đỉnh \( \Rightarrow a = 5\)

\({F_2}\left( {2;0} \right)\) là một tiêu điểm \( \Rightarrow c = 2\) \( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 21\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)  

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hình chữ nhật cơ sở có kích thước là \(2a \times 2b\)

Trong đó: Trục lớn \( = 2a\) ; Trục nhỏ \( = 2b\)

Tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) ; Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: \(2a.2b = 80 \Leftrightarrow ab = 20\)  (1)

Elip có tiêu cự là \(6 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 9\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}ab = 20\\{a^2} - {b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \frac{{400}}{{{a^2}}}\\{a^2} - \frac{{400}}{{{a^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \frac{{400}}{{{a^2}}}\\{a^4} - 9{a^2} - 400 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 20\\\left[ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{a^2} =  - 16\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,a > 0} \right)\\ \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}.\end{array}\)  

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tiêu cự của elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)  là  \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Trục lớn = 2a ; trục bé = 2b

Tọa độ các đỉnh \({A_1}\left( { - a;0} \right)\,\,,\,\,{A_2}\left( {a;0} \right)\,\,,\,\,{B_1}\left( {0; - b} \right)\,\,,\,\,{B_2}\left( {0;b} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục lớn là \(4\sqrt {10}  \Rightarrow 2a = 4\sqrt {10}  \Leftrightarrow a = 2\sqrt {10} .\)

Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng \(4\sqrt {10} \) và đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có 2 tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) là tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.3 = 6.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)

Lời giải chi tiết:

Elip có tiêu cự bằng 6 \( \Rightarrow 2c = 6 \Rightarrow c = 3\)

Elip có trục lớn bằng 10 \( \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

\( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

 Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)

Lời giải chi tiết:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có độ dài trục nhỏ bằng \(2b = 6.\)  Vậy D sai

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)  ; tân sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Elip \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} = \frac{{\sqrt {5 - 4} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy B sai

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với  \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\) ; tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng \(2c = 2.\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt {9 - 4}  = 2\sqrt 5 .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\) ; tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có với mọi điểm M thuộc \(\left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 10 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5\) 

Tâm sai của \(\left( E \right)\) là \(e = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{c}{5} = \frac{3}{5} \Rightarrow c = 3 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\)

\( \Rightarrow \) Phương trình elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài trục lớn là \(2a,\) độ dài tiêu cự là \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có \(a = \sqrt 5 ;\,\,b = 2.\)

\( \Rightarrow \) Độ dài trục lớn là:\(2a = 2\sqrt 5 .\)

\( \Rightarrow \) Độ dài tiêu cự là: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt {5 - 4}  = 2.\)

Vậy tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: \(\frac{2}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài trục lớn bằng \(2a\) , độ dài trục nhỏ bằng \(2b.\)

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục lớn của elip là \(8 \Rightarrow 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4.\)

Độ dài trục lớn của elip là \(6 \Rightarrow 2b = 6 \Leftrightarrow b = 3.\)

Phương trình chính tắc của elip đã cho là: \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thì tọa độ tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - c;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;\,\,0} \right)\) với \({c^2} = {a^2} - {b^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {c^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ các tiêu điểm của elip là: \({F_1}\left( { - 4;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;\,\,0} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({b^2} = {a^2} - {c^2}\) với \(2c\) là tiêu cự, \(2a,\,2b\) là độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip.

Sau khi tìm \({a^2},{b^2}\), ta viết phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Tiêu cự \(2c = 4\sqrt 3  \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \)

Độ dài trục lớn gấp đôi trục bé nên \(2a = 2\left( {2b} \right) \Rightarrow a = 2b\)

Ta có: \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left( {2b} \right)^2} - {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 4{b^2} - 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{b^2} = 12 \Leftrightarrow {b^2} = 4\\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {2b} \right)^2} = 4{b^2} = 4.4 = 16\end{array}\)

Khi đó ta có phương trình elip thỏa mãn bài toán là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình elip \(\left( E \right)\) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)

Elip đi qua hai điểm cho trước, ta thay toa độ vào phương trình elip giải ra ta được \({a^2},\,\,{b^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình elip \(\left( E \right)\) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Vì elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(N\left( {3;\,\, - \frac{{12}}{5}} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}} = 1\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\{a^2} = 25\end{array} \right.\)

Vậy phương trình elip \(\left( E \right)\) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

Chọn  B.