Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x$ và các biến đổi lượng giác: $- \sin x = \sin \left( { - x} \right)$, $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x$.

Lời giải chi tiết:

$f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( x \right) =  - \sin x$.

Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \,\,\,\,2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = - \sin \left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = - \cos \left( { - 2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ f'\left( 0 \right) = - \sin 0 = 0. \end{array}$

Vậy $2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = f'\left( 0 \right)\,\,\,\forall x.$