Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc: \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos 3x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2.\dfrac{9}{4}{\left( {\dfrac{{\sin \dfrac{{3x}}{2}}}{{\dfrac{{3x}}{2}}}} \right)^2} = \dfrac{9}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc: \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x.\sin 3x}}{{1 - \cos 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x.\sin 3x}}{{2{{\sin }^2}x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{3}{2}.{\left( {\frac{x}{{\sin x}}} \right)^2}.\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}} = \dfrac{3}{2}.1.1 = \dfrac{3}{2}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\), \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\cos 2x - \cos 3x}}{{x\left( {\sin 3x - \sin 4x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{{ - x}}{2}}}{{2x.2\cos \dfrac{{7x}}{2}\sin \dfrac{{ - x}}{2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - \sin \dfrac{{5x}}{2}}}{{x\cos \dfrac{{7x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 5}}{{2\cos \dfrac{{7x}}{2}}}\dfrac{{\sin \dfrac{{5x}}{2}}}{{\dfrac{{5x}}{2}}} =  - \dfrac{5}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi lượng giác: \(\tan x = \cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \dfrac{1}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \dfrac{{\dfrac{\pi }{2} - x}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)}} = 1\).

Chọn D.