Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm $M$.

- Tìm quỹ tích điểm $N$ là một đường thẳng $d$, xác định phương trình đường thẳng.

- Khi đó $M{N_{\min }} \Leftrightarrow MN = d\left( {M;d} \right)$.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $d:\,\,ax + by + c = 0$ là $d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $M$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i$  $\Rightarrow M\left( {a;{a^2} - 2a + 2} \right)$.

Gọi $N\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_2}$ $\Rightarrow {z_2} = x + yi.$

$\begin{array}{l}\left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x + yi - 6 + i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 12x + 36 + {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow 8x - 4y - 32 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - y - 8 = 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${z_2}$ là đường thẳng $d:\,\,2x - y - 8 = 0$.

Khi đó $M{N_{\min }} = d\left( {M;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a - \left( {{a^2} - 2a + 2} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} \ge \dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}.$

Chọn A.