Phương pháp giải:

a) Thay giá trị $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức $A.$

b) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức.

c) Dựa vào điều kiện của $x$ để đánh giá tập giá trị của biểu thức $P,$ từ đó suy ra các giá trị nguyên của $P$ và từ đó tìm $x.$ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của $A$ khi $x = 25.$

Điều kiện $x \ge 0.$

Với $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$  ta có: $A = \frac{7}{{\sqrt {25}  + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.$

b) Rút gọn biểu thức $B.$

Rút gọn B: với $x \ge 0;\,\,x \ne 9.$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x + 5\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x  + 8\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}$

c) Tìm $x$ để $P = A.B$ có giá trị nguyên.

Ta có: $P = A.B = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}.\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.$

Vì $x \ge 0 \Rightarrow P > 0.$

Có $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{7}{3}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < P \le \frac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 1\\P = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,\,P \in Z} \right).\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 1\\\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 7\\\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

ĐK:$x \ge 0;\,\,x \ne 9.$

Vậy $x = 16$  hoặc $x = \frac{1}{4}$  thì $P = A.B$  nguyên.

Chú ý khi giải: Chú ý, với bài toán này, đề bài yêu cầu tìm $x \in \mathbb{R}$ để $P \in \mathbb{Z}$ nên mình cần đánh giá tập giá trị của biểu thức của $P,$ từ đó suy ra các giá trị nguyên của $P$ rồi tìm $x.$

Các bạn học sinh thường hay nhầm lẫn với dạng toán $x \in \mathbb{Z}$  để $P \in \mathbb{Z}.$