Phương pháp giải:

Để phân số $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là một số nguyên tố, thì $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là số nguyên và chỉ ước là $1$ và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với mọi $n \in {\mathbb{Z}^ + }$ ta có: $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow {n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n.$

Mà $60 - n\,\, \vdots \,\,60 - n \Rightarrow n\left( {60 - n} \right)\,\, \vdots \,\,60 - n$

$\Rightarrow 60n - {n^2}\,\, \vdots \,\,\,60 - n$

Lại có: ${n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 60n - {n^2} + {n^2}\,\, \vdots \,\,60 - n\\ \Rightarrow 60n\,\, \vdots \,\,60 - n\end{array}$

Có $60 - n\,\, \vdots \,\,60 - n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 60\left( {60 - n} \right)\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ \Rightarrow 3600 - 60n\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ \Rightarrow 60n + 3600 - 60n\,\,\, \vdots \,\,\,60 - n\\ \Rightarrow 3600\,\, \vdots \,\,60 - n\\ \Rightarrow 60 - n \in U\left( {3600} \right).\end{array}$ 

Mà $U\left( {3600} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4;.....} \right\}$ 

Ta có: $n \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow 60 - n \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow 0 < 60 - n \le 60$

Lại có: $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là số nguyên tố

+) Xét $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}} = 2$ $\Rightarrow {n^2} = 120 - 2n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} + 2n - 120 = 0\\ \Rightarrow {n^2} + 12n - 10n - 120 = 0\\ \Rightarrow n\left( {n + 12} \right) - 10\left( {n + 12} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {n - 10} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 10 = 0\\n + 12 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 12\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $n = 10$ ta có $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là số nguyên tố.

+) Xét $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}} \ne 2 \Rightarrow \frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là các số nguyên tố lẻ và $> 2.$

$\Rightarrow {n^2},\,\,\,60 - n$ cùng là hai số lẻ hoặc ${n^2}$ chẵn và $60 - n$ là số lẻ

$\Rightarrow 60 - n$ là số lẻ.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{n^2}}}{{60 - n}} > 2 \Rightarrow {n^2} + 2n - 120 > 0\\ \Rightarrow \left( {n - 10} \right)\left( {n + 12} \right) > 0\\ \Rightarrow n > 10\\ \Rightarrow 60 - n < 50.\\ \Rightarrow 60 - n \in \left\{ {1;\,\,3;\,\,\,9;\,\,15;\,\,25;\,\,45} \right\}\end{array}$

Ta có bảng giá trị:

$\Rightarrow n = 15$ thì $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là số nguyên tố.

Vậy với $n \in \left\{ {10;\,\,15} \right\}$ thì $\frac{{{n^2}}}{{60 - n}}$ là số nguyên tố.

Chọn A.