Phương pháp giải:

- Tính diện tích hình thang vuông $ADCM$: ${S_{ADCM}} = \dfrac{{\left( {AD + CM} \right).CD}}{2}$ hoặc ${S_{ADCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}}$.

- Thể tích khối chóp có chiều cao bằng $h$, diện tích đáy $S$ là: $V = \dfrac{1}{3}Sh.$

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$ nên ${S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}.$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM = CM = a$.

Do đó, ${S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB.BM = \dfrac{1}{2}.2a.a = {a^2}.$

$\Rightarrow {S_{ADCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}$.

Thể tích của khối chóp $S.ADCM$ có chiều cao $SA = 2a$ là :

                                                ${V_{S.ADCM}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ADCM}} = \dfrac{1}{3}.2a.3{a^2} = 2{a^3}.$ 

Chọn B.