Phương pháp giải:

- Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( {A'B'C'} \right)$, xác định góc giữa cạnh bên $AA'$ và $\left( {A'B'C'} \right)$ là góc giữa $AA'$ và hình chiếu của $AA'$ lên $\left( {A'B'C'} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính đường cao $AH$.

- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là: $S = Bh$.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( {A'B'C'} \right)$, khi đó ta có $AH \bot \left( {A'B'C'} \right)$ $\Rightarrow$ Hình chiếu của $AA'$ lên $\left( {A'B'C'} \right)$ là $A'H$.

$\Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AA';A'H} \right) = \angle AA'H = {60^0}$.

Vì $AH \bot \left( {A'B'C'} \right)$ nên $AH \bot AA'$, do đó tam giác $AA'H$ vuông tại $H$, suy ra $AH = AA'.\sin \angle AA'H = a\sqrt 3 .\sin {60^0} = \dfrac{{3a}}{2}$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}$.

Chọn A.