Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\), xác định góc giữa cạnh bên \(AA'\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) là góc giữa \(AA'\) và hình chiếu của \(AA'\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính đường cao \(AH\).

- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là: \(S = Bh\).

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\), khi đó ta có \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right)\) \( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(AA'\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(A'H\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AA';A'H} \right) = \angle AA'H = {60^0}\).

Vì \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(AH \bot AA'\), do đó tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\), suy ra \(AH = AA'.\sin \angle AA'H = a\sqrt 3 .\sin {60^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Chọn A.