Phương pháp giải:

Diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H thuộc $\left( \alpha  \right)$. Gọi đa giác H’ là hình chiếu của đa giác H lên $\left( \beta  \right)$; $\varphi$= là góc giữa $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$.  Khi đó : ${S_{\left( {H'} \right)}} = {\rm{cos}}\alpha {\rm{. }}{{\rm{S}}_{\left( H \right)}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\varphi$ là góc giữa mp(ABC) và mp(MBC).

Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác MBC lên (ABC) $\Rightarrow {\rm{cos}}\varphi  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBC}}}}$

Ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Tam giác MBC cân tại M có: $MB = MC = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{3{\rm{a}}}}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{5{\rm{a}}}}{4}$

Gọi I là trung điểm của BC $\Rightarrow MI = \sqrt {M{B^2} - {{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{5{\rm{a}}}}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}$

$\Rightarrow {S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}.MI.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}$$y = 4$

$\Rightarrow {\rm{cos}}\varphi  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBC}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 7 }}$$\Rightarrow {\tan ^2}\varphi  = \dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\varphi }} - 1 = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \tan \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn A.