Phương pháp giải:

+ Lấy điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(I.\) Xác định tọa độ điểm \(M'\).

+ \(IE \bot EM'\). Để xác định điểm \(E\) từ CT \(\overrightarrow {IE} \,.\,\overrightarrow {EM'}  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M'\left( {{x_{M'}};\,\,{y_{M'}}} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\left( {1;\,\,5} \right)\) qua \(I\left( {6;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow I\)là trung điểm của \(MM'.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6 = \frac{{1 + {x_{M'}}}}{2}\\2 = \frac{{5 + {y_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{M'}} = 12\\5 + {y_{M'}} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 11\\{y_{M'}} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {11;\,\, - 1} \right)\)

Vì \(E \in \left( {CD} \right):\,\,x + y - 5 = 0 \Rightarrow E\left( {t;\,\,5 - t} \right)\)

Ta có:

+)\(E\left( {t;\,\,5 - t} \right)\); \(I\left( {6;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IE}  = \left( {t - 6;\,\,3 - t} \right)\)

+) \(E\left( {t;\,\,5 - t} \right);\,\,M'\left( {11;\,\, - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {EM'}  = \left( {11 - t;\,\, - 6 + t} \right)\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật, \(I\) là giao điểm hai đường chéo, \(E\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow IE \bot CD\)\( \Rightarrow IE \bot EM'\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IE} \,.\,\,\overrightarrow {EM'}  = 0\)

\( \Rightarrow \left( {t - 6} \right).\left( {11 - t} \right) + \left( {3 - t} \right).\left( { - 6 + t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 11t - {t^2} + 6t - 66 - 18 + 3t + 6t - {t^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2{t^2} + 26t - 84 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} - 13t - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {6;\,\, - 1} \right)\) và \(E\left( {7;\,\, - 2} \right)\)

Chọn  A