Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha .$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + \sin 2\alpha  = \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow \sin 2\alpha  = \frac{9}{{16}}.\end{array}$

Chọn D.