Phương pháp giải:

- Hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy của hình chóp đều là tâm của đáy.

- Tìm góc tạo bởi giữa mặt đáy và mặt bên.

- Tìm góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

- Sử dụng giả thiết khoảng cách từ $H$ đến $SA$ bằng $\dfrac{a}{{\sqrt 7 }}$ để tìm các cạnh của hình chóp và giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Vì $S.ABC$là hình chóp đều nên $\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\AB = AC = BC\end{array} \right.$ và $H$ là tâm của mặt đáy $ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $AM \bot BC$ và $AH = \dfrac{2}{3}AM$.

Tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên $SM \bot BC$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.$$\Rightarrow \widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} = \widehat {SMA} \Rightarrow \widehat {SMA} = 60^\circ$ 

Qua $H,$ kẻ $HI \bot SA\,\left( {I \in SA} \right)$, từ giả thiết suy ra $HI = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}$

Tam giác $SHM$ vuông tại $H$ nên $\tan SMH = \dfrac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{HM}} = \sqrt 3  \Rightarrow SH = \sqrt 3 HM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AH$

Tam giác $SHA$ vuông tại $H$ có $HI \bot SA$ nên ta có:

      $\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{7}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}A{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3A{H^2}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\\SH = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$

Qua $A,$ kẻ $AK \bot SB\left( {K \in SB} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\end{array} \right.$$\Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AC \bot SB\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ 

Từ (1) và (2) suy ra $SB \bot \left( {AKC} \right) \Rightarrow SB \bot KC$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cũng là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ và là góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $KC$.

Ta có:

$\begin{array}{l}SA = SB = SC = \sqrt {A{H^2} + S{H^2}}  = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\\AB = AC = BC = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}AM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{3}{2}AH = a\end{array}$

$\Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{a^2} \Rightarrow AK = KC = \dfrac{{2{S_{\Delta SAB}}}}{{SB}} = \dfrac{{2\sqrt 7 a}}{7}$

Do đó, $\cos AKC = \dfrac{{A{K^2} + K{C^2} - A{C^2}}}{{2AK.KC}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{1}{8}$

Suy ra $\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}$.

Chọn A.