Phương pháp giải:

- Tìm góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(S\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(AH = BH = \dfrac{{2a}}{2} = a\) và \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt 2 a\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\)\( \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại \(H\).

Do đó, \(SH = CH.\tan \angle SCH = a\sqrt 2 \).

Lại có \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2a.a = 2{a^2}\).

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .2{a^2} = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)

Chọn D.