Phương pháp giải:

- Tìm góc tạo bởi $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là: $V = \dfrac{1}{3}Sh.$

Lời giải chi tiết:

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right)$ nên $HC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật, $H$ là trung điểm $AB$ nên $AH = BH = \dfrac{{2a}}{2} = a$ và $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt 2 a$

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC$$\Rightarrow \Delta SHC$ vuông tại $H$.

Do đó, $SH = CH.\tan \angle SCH = a\sqrt 2$.

Lại có ${S_{ABCD}} = AB.AD = 2a.a = 2{a^2}$.

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .2{a^2} = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}.$

Chọn D.