Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao $h$, diện tích đáy $S$ là $V = Sh.$

Lời giải chi tiết:

Tam giác $AA'B$ vuông tại $A$ nên áp dụng định lí Pytago ta có:

$AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {9{a^2} - 3{a^2}}  = a\sqrt 6$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a\sqrt 3$ nên ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Thể tích khối lăng trụ là:  $V = Sh = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 6  = \dfrac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{4}.$

Chọn: B.