Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \)\(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\,\left( {1; + \infty } \right)\) (Hàm đa thức và phân thức liên tục trên các khoảng xác định của nó).

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 1} \right) = a + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\f\left( 1 \right) = a.1 + 1 = a + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1\).

Chọn: B.