Phương pháp giải:

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$$y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right),\,\left( {1; + \infty } \right)$ (Hàm đa thức và phân thức liên tục trên các khoảng xác định của nó).

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 1} \right) = a + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\f\left( 1 \right) = a.1 + 1 = a + 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1$.

Chọn: B.