Phương pháp giải:

- Xác định khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBC} \right)$ bằng phương pháp kẻ 3 nét.

- Xác định góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính $SA,\,\,AI$ theo $\alpha$. Từ đó tính $AB$ theo $\alpha$.

- Tính ${S_{ABC}}$ theo $\alpha$, tính ${V_{S.ABC}}$ theo $\alpha$.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựng $AI \bot BC$ ($I$ là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều).

Dựng $AK \bot SI$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK$.

$\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BC\\AK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)$$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = 2$.

Ta có: $BC \bot \left( {SAI} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SI$.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SI \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AI \bot BC\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SI;AI} \right) = \angle SIA = \alpha$.

Dễ nhận thấy $\angle SAK = \angle SIA = \alpha$ (cùng phụ với $\angle KAI$).

Ta có: $SA = \dfrac{{AK}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }},\,\,AI = \dfrac{{AK}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{2}{{\sin \alpha }}$.

Tam giác $ABC$ đều

$\begin{array}{l} \Rightarrow AI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{\sin \alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\end{array}$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha .{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right){\rm{.cos}}\alpha }}\end{array}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)x$ với $x \in \left( {0;1} \right)$ ta có: $f'\left( x \right) = 1 - 3{x^2}.$

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}.$

$\Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}$.

$\Rightarrow$ Thể tích khối chóp S.ABC đạt GTNN bằng $\dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}}} = 4$ khi và chỉ khi ${\rm{cos}}\alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn: C.